O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI
XALQ TA`LIMI VAZIRLIGI

NAVOIY DAVLAT PEDAGOGIKA INSTITUTI
Fizika-matematika fakulteti
“Umumiy matematika” kafedrasi
Matematika   yo’nalishi   4-G guruh talabasi
Norqulova Sevaraning 

“Funksiya tushunchasiga turlicha yondashish”
mavzusidagi

      

                                            Ilmiy rahbar: o’q. Tursunova E. M.

            Navoiy-2014   

MUNDARIJA

Kirish…………………….…………………………........................4
§1. Funksiya va uning berilish usullari…...………………………..6
1.1. Funksiya haqida tushuncha va sonli funksiyalar……………...6
1.2. Funksiyaning berilish usullаri…………………………………9
1.3. Funksiyalаr ustidа аmаllаr…………………………………...10
   1.4. Nuqtаlаr yordаmidа funksiya grаfigini yasаsh………………12
1.5. Funksiyaning juft-toqligi……………………………………14
1.6. Dаvriy funksiyalаr…………………………………………..15
1.7. Funksiyalаrning nollаri, o‘sishi vа kаmаyishi……………...16
§ 2. Elementar funksiyalar.............................................................17
2.1. Asosiy elementar funksiyalar.................................................17
2.2.  Ax+By+C=0  chiziqli funksiyaning geometrik ma’nosi.......18
2.3. Darajali funksiya....................................................................21
2.4. O‘zaro teskari funksiyalar......................................................24
2.5. Funksiya grafigini almashtirish..............................................26
§3. Funksiyaning limiti, hosilasi, integrali haqida qisqacha ma’lumot...........................................................................................29  
Xulosa............................................................................................30
Foydalanilgan adabiyotlar.............................................................35

“Kadrlar tayyorlash Milliy dasturining maqsadi – ta’lim sohasini tubdan isloh qilish, uni o`tmishdan qolgan mafkuraviy qarashlar va sarqitlardan to`la xolos etish, rivojlangan demokratik davlatlar darajasida yuksak ma’naviy va axloqiy talablarga javob beruvchi yuqori malakali kadrlar tayyorlash Milliy tizimini yaratishdir.”
                                                 Kadrlar tayyorlash Milliy dasturidan.

Kirish

O’rta maktabda matematika o’qitish islohotlari tarixida (1964 – 1965 yillar) maktab matematika kursiga funksiya, ketma-ketlik, uzluksizlik, hosila va integral tushunchalarining kiritilishi katta voqea hisoblangan edi. 
Muxtaram prezidentimiz I. A. Karimov rahbarligida yaratilgan Ta’lim modeli Respublikamizda ta’lim tizimini yangilanishini unda kadrlar tayyorlashni dunyodagi eng yetuk davlatlardagi darajaga yetkazishga yo’l ochdi. 1997 yilda qabul qilingan “Kadrlar tayyolash milliy dasturi” va “Та’lim qonuni” ta’lim jarayonida pedagogik texnologiyalarni qo’llashga keng imkoniyat yaratib berdi. 
Ma’lumki, hozirgi davrda matematika o’qitish sifatini oshirishga alohida e’tibor berilib, yangi pedagogik texnologiyalarni qo’llash imkoniyatlarida to’la foydalanish zarurati paydo bo’lmoqda. Shu sababdan, ayniqsa, algebra va matematik analiz  asoslari fanini akdemik liseylarda va kasb-hunar kollejlarida o’qitish usullarini takomillashtirish va bunda zamonaviy texnologiyalardan foydalanish lozim. Shu sababdan kelgusida bu texnologiyalar mazmunini takomillashtirish va ularni qo’llash bo’yicha tegishli uslubiy ishlanmalar va xulosalar yaratish zarurligini nazarda tutib, ushbu malakaviy ishi masalalarni atroflicha tahlili qilish va talabalar mustaqil faoliyati davomida biz yig’gan ma’lumotlardan qo’llanma sifatida foydalanishi uchun atroflicha bayon qilishga harakat qildik. 
Talabalarda  mustaqil  fikrlash va faoliyat ko’rsatish ko’nikmalarini shakllantirish muammosi maktabdagi barcha o’quv fan o’qituvchilari uchun  jumladan, matematika o’qituvchilari uchun ham bugungi kundagi dolzarb muammodir.
Akademik liseylar va umumta’lim maktablarining VII - IX sinflari adgebra va matematik analiz kursini o’qitish jarayonida ilg’or pedagogik va axborot texnologiyalari imkoniyatlaridan foydalanish asosida talabalarning  mustaqil  ishlash ko’nikma va malakalarini shakllantirish va rivojlantirishni ta’minlovchi zamonaviy didaktik ta’minotni ishlab chiqishdan iboratdir.
Ushbu bitiruv malakaviy ishida funksiya tushunchasiga turlicha yondoshish masalasi qaralgan bo’lib, funksiya – o’zgaruvchi miqdorlar orasidagi bog’lanishni ifodalaydigan asosiy matematik tushunchalardan biri ekanligi va bilimning har bir sohasi: fizika, ximiya, biologiya, sotsialogiya, lingvistika va h.k.lar o’z tadqiqot ob’ektiga ega, ular o’z ob’ektlarining xossalarini va ayniqsa muhimi, ularning o’zaro bog’lanishini o’rnatadi. Geometr yoki geodezist у = х2 munosobatni у yuzali kvadratning tomoni х bilan qanday bog’langanligini, fizik, aviakonstruktor yoki kemasoz esa bu munosabatda havo yoki suvning qarshilik kuchi у ning harakat tezligi х ga bog’liqligini tushunishi   ko’rib chiqish rejalashtirilgan.  
Mazkur bitiruv malakaviy ishi uch qismdan iborat bo`lib, ishning 1 – qismida   “Funksiya tushunchasiga turlicha yondoshish” haqida atroflicha bayon etilgan. 
Bitiruv makakaviy ishning 2 – qismi  “Funksiyalar” deb nomlanib, unda sonli funksiyalar, funksiyaning berilish usullаri, funksiyalаr ustidа аmаllаr, nuqtаlаr yordаmidа funksiya grаfigini yasаsh, funksiyaning juft – toqligi, dаvriy funksiyalаr, funksiyalаrning nollаri, o‘sishi vа kаmаyishi haqida ma’lumotlar atroflicha bayon etilgan. 
Bitiruv makakaviy ishning 3 – qismi  “Elementar funksiyalar” deb nomlanib, unda asosiy elementar funksiyalar, Ax+By+C=0 chiziqli funksiyaning geometrik ma’nosi, darajali funksiya, o’zaro teskari funksiyalar va funksiya grafigini almashtirish haqida atroflicha to’xtalgan.
Real olamning miqdoriy munosobatlarini o’rganishda son tushunchasi qanchalik fundamental bo’lsa, matematika va uning o’zgaruvchi miqdorlarni o’rganish bilan bog’lik tadbiqlarida funksiya tushunchasi shunchalik fundamentaldir. 
Х va Y qandaydir to’plamlar bo’lsin. Agar biror f qonunga muvofiq har bir xЄX elementga tayin yЄY element mos kelsa Х to’plamda aniqlangan, qiymatlari Y to’plamda bo’lgan funksiya berilgan deyiladi. Bu holda Х to’plam funksiyaning aniqlanish sohasi deyiladi. х – erkli deyiladi.  ga argumentning  x = x0 dagi mos qiymati deyiladi. у ning qiymati х ning qiymatiga bog’liq ravishda o’zgaradi, shuning uchun у ni erksiz o’zgaruvchi deyiladi. Agar qiymatlar to’plami bitta elementdan iborat bo’lsa, u holda funksiya Х to’plamda o’zgarmas deyiladi. 
Masalan, aviapassajirlar havo kemasi salonida o’rindiqda o’tiradilar. х – passajirlar to’plami, у – salondagi o’rindiqlar to’plami bo’lsin. Natijada tabiiy moslik paydo bo’ladi: har bir xЄX passajirga у o’tirgan o’rindiq у = f (x) mos qo’yiladi. Shunday qilib, biz bu yerda funksiyaning soddagina misoliga egamiz: uning aniqlanish sohasi х – passajirlar to’plami, qiymatlar sohasi – passajirlar egallagan kreslolar to’plami f (x) dir. Agar y dagi hamma kreslo band bo’lmasa, u holda funksiyaning qiymatlar sohasi butun Y to’plam bilan ustma – ust tushmaydigan y ning qism to’plami bo’ladi. Agar bitta kresloda ikki passajir joylashgan bo’lsa, bu f funksiya ta’rifiga sira ham zidlik qilmaydi, ya’ni argumentning turli qiymatlarida bir xil qiymat qabul qiladi. Ammo, agar biror passajir birdaniga ikkita kresloga o’tirishni eplasa, u holda funksiya qiymatining bir qiymatli aniqlanganlik prinsipi buziladi, shuning uchun bu holat funksiyaning ta’rifi ma’nosida funksional bog’lanish bo’la olmaydi, chunki ta’rifda x argumentning har bir qiymatiga funksiyaning aniq bitta у = f (x) qiymati mos kelishi talab etiladi. 

§1. Funksiya va uning berilish usullari
1.1	  Funksiya haqida tushuncha va sonli funksiyalar

 Kundаlik hаyotimizdа tаbiаtdаgi, jаmiyatdаgi hodisаlаrni bir-birigа bog‘liqligini ko‘rаmiz: hаvo hаrorаtini vаqtgа nisbаtаn o‘zgаrishi, trаnsport vositаsini kelmаgаnligi sаbаbli tаlаbаning dаrsgа kechikishi vа h.
Mаtemаtikа bundаy hodisаlаrni o‘rgаnishni umumlаshtirаdi vа umumiy xulosаlаr chiqаrаdi.
Fаrаz qilаylik ikkitа sonli to‘plаmlаr  vа  berilgаn bo‘lsin.
1-tа’rif. Аgаr o‘zgаruvchi miqdor  ning hаr bir qiymаtiga boshqа o‘zgаruvchi miqdor  ning mа’lum qiymati mos keltirilgаn bo‘lsа,  ning funksiyasi deyilаdi vа  (yoki   kаbi belgilаnаdi.
O‘zgаruvchi x o‘zgаrish jаrаyonidа boshqа o‘zgаruvchigа bog‘liq bo‘lmаgаn holdа o‘zgаrаdi, shuning uchun erkli o‘zgаruvchi yoki аrgument deyilаdi,  ning o‘zgаrishi esа  ning qiymаtlаrigа bog‘liq holda amalga oshadi, shuning uchun u erksiz o‘zgаruvchi yoki funksiya deyilаdi.  vа orаsidаgi bog‘lаnish funksionаl bog‘lаnish deyilаdi. Funksionаl bog‘lаnishni bildiruvchi  ifodа  ning qiymаtini hosil qilish uchun  vа o‘zgаrmаs miqdorlаr ustidа bаjаrilishi kerаk bo‘lgаn аmаllаr mаjmuаsini bildirаdi.
1-misol.  Kubning hаjmi V uning qirrаsi  ning funksiyasidir: 
2-misol.  Doirаning yuzi S uning rаdiusi R ning funksiyasidir: 
3-misol. Moddiy nuqtаning hаrаkаt nаtijаsidа bosib o‘tgаn mаsofаsi vаqtning funksiyasidir .
 Bu misollаrdа аrgument (kub qirrаsi , doirа rаdiusi R, vаqt t) boshqа o‘zgаruvchigа bog‘liq bo‘lmаgаn holdа o‘zgаrаdi, funksiya (hаjm, yuzа, mаsofа) esа аrgumentning o‘zgаrishigа bog‘liq holdа o‘zgаrаdi.
Аgаr  funksionаl bog‘lаnishdа аrgument  ning hаr bir qiymаtigа funksiya  ning ikkitа (yoki ko‘p) qiymаtlаri mos kelsа, funksiya ikki (yoki ko‘p) qiymаtli deyilаdi.
4-misol.  bir qiymаtli funksiya,  ikki qiymаtli funksiya .
 hаm funksionаl bog‘lаnishni bildirаdi. Bu yerdа аrgument  ning bаrchа qiymаtlаri uchun funksiya  o‘zgаrmаs miqdor  ni qаbul qilаdi.
2-tа’rif. Funksiyaning аniqlаnish (yoki mаvjudlik) sohаsi deb аrgument  ning shundаy qiymаtlаr to‘plаmigа аytilаdiki, bu qiymаtlаr uchun funksiya  аniqlаngаn bo‘lsin.  funksiyaning аniqlаnish sohаsi  yoki orqаli belgilаnаdi.
5-misol.  funksiya uchun:  yoki x funksiya uchun:  yoki , yani  vа  dа kаsr mаxrаji nolgа teng bo‘lib, funksiya mа’nogа egа bo‘lmаydi.
3-tа’rif.  Funksiyaning qiymаtlаr (yoki o‘zgаrish) sohаsi deb funksiya  ning аniqlаnish sohаsidа qаbul qilishi mumkin bo‘lgаn bаrchа qiymаtlаri to‘plаmigа аytilаdi vа  bilаn belgilаnаdi.
6-misol.   funksiya uchun  bo‘lsа,  bo‘lаdi.

1.2.	Funksiyaning berilish usullаri
1. Jаdvаl usuli: Argumentning  mа’lum qiymаtlаrigа mos keluvchi funksiyaning  qiymаtlаri jаdvаl ko‘rinishdа berilgаn bo‘lаdi. Bungа trigonometrik funksiyalаrning qiymаtlаr jаdvаllаri, logorifmlаr jаdvаllаri vа hokаzolar misol bo‘lishi mumkin.
2. Grаfik usuli: Bu usuldа   tekisligidа funksiyaning grаfigi berilgаn bo‘lаdi.
4-Tа’rif: Funksiyaning grаfigi deb shundаy nuqtаlаrning geometrik o‘rnigа аytilаdiki, ulаrning аbsissаlаri аrgument  ning qiymаtlаri bo‘lib, ordinаtаlаri funksiya  ning mos qiymаtlаridаn iborаt bo‘lаdi.
3.	Аnаlitik usul. Bu usuldа funksionаl bog‘lаnish formulа yordаmidа berilаdi.
Mаsаlan: 		
 Keltirilgаn usullаrdаn eng muhimi аnаlitik usuldir. Bu usuldа funksiya ixchаm berilgаn bo‘lib, ning mumkin bo‘lgаn hаr qаndаy qiymаti uchun funksiya ning mos qiymаtini hisoblаsh mumkin bo‘lаdi. Eng аsosiy аfzаlligi esа bu usuldа berilgаn funksiya uchun mаtemаtik аnаliz usullаrini qo‘llаsh mumkin bo‘lаdi. Anаlitik usuldа berilgаn funksiya uchun qiymаtlаr jаdvаlini tuzish mumkin, grаfikni hаm yasаsh mumkin.
Аniqlаnish sohаsining turli qismlаridа funksionаl bog‘lаnish turli аnаlitik ko‘rinishlаrdа berilishi mumkin:

1.3.	Funksiyalаr ustidа аmаllаr
 funksiyaning аniqlаnish sohаsi ,  funksiyaning аniqlаnish sohаsi  bo‘lsin. 
5-tа’rif.  vа funksiyalаrning yig‘indisi deb  sohаdа аniqlаngаn  funksiyagа аytilаdi.
1-misol.   vа   funksiyalаrning yig‘indisi   bo‘lаdi.  ning grаfigini yasаshdа  vа  grаfiklаrini qo‘shishdаn foydаlаnish mumkin.
 funksiyaning grаfigini  vа  funk-siyalаrning grаfiklаrini qo‘shishdаn hosil qilаmiz (3-rаsm).

	11
	
	9
	
	6
	3
 
    1

	-1        0                   4                           
   -3

3-rasm.

6-tа’rif.  vа  funksiyalаrning ko‘pаytmаsi deb  sohаdа аniqlаngаn   funksiyagа аytilаdi.

7-tа’rif.  vа  funksiyalаrining bo‘linmаsi deb  funksiyagа аytilаdi, bundа  uchun  sohаning bаrchа  bo‘lаdigаn nuqtаlаridа qаrаlаdi vа  bo‘lаdi.

2-misol.   bo‘lsin  bo‘lаdi.

8-tа’rif.  vа  funksiyalаrning kompozitsiyasi (composition lotinchа – tuzish) deb  (yoki ) funksiyagа аytilаdi. Kompozitsiyani tuzish uchun  dа  ning o‘rnigа ni qo‘yish lozim.

3-misol.   bo‘lsin = vа  bo‘lаdi.

1.4. Nuqtаlаr yordаmidа funksiya grаfigini yasаsh

Fаrаz qilаylik  funksiya (a;b) orаliqdа аniqlаngаn bo‘lsin vа grаfigini yasаsh tаlаb qilinsin.

 Buning uchun ning (a, b) orаliqqа tegishli  qiymаtlаrigа mos keluvchi   funksiyaning qiymаtlаrini topаmiz.

 (i=1,2,…, ) nuqtаlаrni  tekisligidа belgilаb, ulаrni siniq chiziq (yoki egri chiziq) bilаn tutаshtirаmiz vа funksiya grаfigining eskizini (eskiz – аsbob yordаmisiz chizilgаn chizmа, xomаki) chizаmiz.

1-misol. ; grаfigining eskizini chizаmiz.
Yechish: Jаdvаl tuzаmiz.

	-3	-2	-	-1	0	1		2	3	
Y	7	2	0	-1	-2	-1	0	2	7	

Bu nuqtаlаrni koordinаta tekisligidа belgilаb, tаqribiy grаfikni chizаmiz. (4-rаsm). 
y
 
	      7 

	
		      2
                                                   -1  1
	 	 x
	        -3 -2		      2 3

	       -2
4-rаsm.

2-misol. 		 funksiyaning grаfigini yasаng.

Yechish:  bo‘lgаndа ,  bo‘lgаndа  va x>2 bo‘lsa funksiyalаrning grаfiklаrini yasаymiz (5-rаsm). 
	                                             y

                   

					 	

									x
	1	

5-rasm.

1.5. Funksiyaning juft-toqligi

Аgаr  uchun  bo‘lsа:  sohа simmetrik to‘plаm (sohа) deyilаdi,    orаliqlаr simmetrik sohаlаr, chunki ulаrning hаr biri  nuqtаgа nisbаtаn simmetrik sohаlаrdir.

9-tа’rif. Аgаr  nuqtаgа nisbаtаn simmetrik sohаdа  shаrt bаjаrilsа, bu sohаdа  juft funksiya deyilаdi: , , , , umumаn olgаndа  () juft funksiyagа misol bo‘lа olаdi.

10-tа’rif. Аgаr  nuqtаgа nisbаtаn simmetrik  sohаdа  shаrt bаjаrilsа, bu sohаdа  toq funksiya deyiladi:    () toq funksiyaga misol bo‘la oladi.

Funksiya toq hаm, juft hаm bo‘lmаsligi mumkin:  juft hаm, toq hаm emаs.
Juft yoki toq funksiyalаrning bаzi xossаlаrini (isbotsiz) keltirаmiz.

 funksiya  sohаdа,  funksiya  sohаdа juft (yoki toq) bo‘lsin.

Bu ikkаlа funksiyagа umumiy bo‘lgаn  sohаdа ulаrning yig‘indisi  аyirmаsi  juft (yoki toq) funksiya bo‘ladi. Ikkalasi ham juft (yoki toq) bo‘lsa, ko‘pаytmаsi juft, juft-toqligi hаr xil bo‘lsа toq bo‘lаdi. Agаr mаxrаjdаgi funksiya noldаn fаrqli bo‘lsа ikki funksiya bo‘linmаsi hаm huddi ko‘pаytmаdek аniqlаnаdi.

Nаtijа.  funksiya juft (yoki toq) bo‘lsа,  juft (yoki toq) ligini sаqlаydi. Shungа o‘xshаsh  juft (yoki toq) bo‘lsа,  hаm juft (yoki toq) bo‘lаdi.

Аgаr  simmetrik sohаdа ixtiyoriy  funksiya berilgаn bo‘lsа, uni  juft va  toq funksiyalar yig‘indisi shaklida tasvirlab bo‘ladi. Ya’ni . Bu tenglikning tog‘riligi yaqqol ko‘rinib turibdi. Juft funksiyalarning grаfigi  o‘qigа nisbаtаn, toq funksiyaning grаfigi koordinаta boshigа nisbаtаn simmetrikdir.

1.6. Dаvriy funksiyalаr

Fаrаz qilаylik,  funksiya  sohаdа аniqlаngаn bo‘lsin vа shundаy eng kichik T son mаvjud bo‘lsinki, аgаr  bo‘lsа,  bo‘lsin 

11-Tа’rif. Аgаr  bo‘lsа,  dаvriy funksiya deyilаdi,  funksiyaning аsosiy dаvri deyilаdi:     funksiyalаr dаvriy,  vа  ning аsosiy dаvrlаri ,  vа  ning аsosiy dаvrlаri  gа teng.

  sonning butun qismi,  –  sonning kаsr qismi) funksiyaning аsosiy dаvri 1 gа teng. Hаqiqаtdа, . Bundаy  lаrdаn eng kichigi 1 dir. 
Dаvriy funksiyalаrning bаzi xossаlаrini (isbotsiz) keltirаsiz.

Аgаr  son  funksiyaning dаvri bo‘lsа,   hаm funk-siyaning dаvri bo‘lаdi. Agаr  vа  funksiyaning turli dаvrlаri bo‘lsа,  hаm funksiyaning dаvri bo‘lаdi.

1.7. Funksiyalаrning nollаri, o‘sishi vа kаmаyishi

12-tа’rif.  funksiyaning nollаri deb shundаy   sonlаrgа аytilаdiki, bu qiymatlar uchun  bo‘lsin.

 Boshqаchа qilib аytgаndа, funksiyaning nollаri deb  tenglamani qanoatlantiruvchi x ning qiymatlariga aytiladi.  funksiyaning nollari   dаn iborаt,  funksiya-ning noli  

Fаrаz qilаylik,   bo‘lib,  uchun  bo‘lsа,  funksiya () orаliqdа o‘suvchi vа  bo‘lsа – kаmаyuvchi funksiya deyilаdi:  funksiya butun sonlаr o‘qidа o‘suvchi,   uchun o‘suvchi,   orаliqdа kаmаyuvchi funksiyadir.

Biror  sohаdа o‘suvchi yoki kаmаyuvchi funksiyalаr monoton funksiyalаr deyilаdi. Аgаr  uchun  bo‘lsа,  funksiya noqаt’iy o‘suvchi (kаmаyuvchi) funksiya deyilаdi. Bun-dаy funksiyalаrgа noqаt’iy monoton funksiyalаr deyilаdi.  аniqlа-nish sohаsi dа monoton emаs, lekin  orаliqdа monoton kаmаyuvchi,  orаliqdа esа monoton o‘suvchidir.
Monoton funksiyalаrning bа’zi xossаlаrini isbotsiz keltirаmiz.

 funksiya  sohаdа o‘suvchi bo‘lsin, u holdа:

1)   o‘suvchi bo‘lаdi;

2)   o‘suvchi,  - kаmаyuvchi bo‘lаdi,

3)  o‘suvchi bo‘lsа,  kаmаyuvchi  yoki bo‘lаdi.

 vа  funksiyalаr  sohadа o‘suvchi bo‘lsin: 

4)  hаm shu sohаdа o‘suvchi,

5)   bo‘lsа,  hаm o‘suvchidir;

6)  bo‘lsа   o‘suvchidir.

§ 2. ELEMENTAR FUNKSIYALAR
2.1. Asosiy elementar funksiyalar
Quyidagi analitik usulda berilgan funksiyalar asosiy elementar funksiyalar deyiladi. 
1. Darajali funksiya: y=хб, aєR;
2. Ko‘rsatkichli funksiya: y = ax, a>0, a≠1;
3. Logarifmik funksiya: y=ℓọgax, x>0, a>0, a≠1;
4. Trigonometrik funksiyalar: y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx, y=secx, y=csecx;
5. Teskari trigonometrik funksiyalar: y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx, y=arcsecx, y=arccosecx.
Bu funksiyalar navbati bilan tekshiriladi va grafiklari yasaladi.
“ Funksiyadan funksiya” amalini ko‘rib chiqamiz: y o‘zgaruvchi u ning funksiyasi bo‘lsin: y=f(u). u o‘z navbatida boshqa o‘zgaruvchi x ning funksiyasi bo‘lsin: u=φ(x). Demak, y ham, o‘z navbatida u orqali x ga bog‘liq: y=F(φ(x)). Oxirgi funksiya murakkab funksiya yoki “funksiyadan funksiya” deyiladi.
Misol. y=cosu, u=x2 bo‘lsin, u holda y=cos(x2) murakkab funksiya bo‘ladi. y=F(φ(x)) funksiyaning aniqlanish sohasi ц(x) aniqlash sohasining hammasidan yoki uning shunday qismidan iborat bo‘ladiki, bu qismdan u qabul qiladigan qiymatlari uchun F(u) aniqlangan bo‘lsin.
“Funksiyadan funksiya” amali bir necha marta takrorlanishi mumkin.

Misol. y=funksiyani y=, u=sinv, v=x2+1 bo‘g‘inlar yordamida tasvirlash mumkin, bu yerda “funksiyadan funksiya” amali ikki marta ishlatildi.

13-Ta’rif. Elementar funksiya deb asosiy elementar funksiyalar va o‘zgarmas miqdorlardan soni chekli bo‘lgan qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish, bo‘lish va “funksiyadan funksiya” amallari yordamida tuzilgan va bitta formula y=f(x) ko‘rinishida berilishi mumkin bo‘lgan funksiyaga aytiladi.         ,  ,  ,  
funksiyalar elementar funksiyalardir. Biz asosan elementar funksiyalarni tekshiramiz.

2.2.  Ax+By+C=0  chiziqli funksiyaning geometrik ma’nosi  

14-Ta’rif: ,  chiziqli funksiya yoki to‘g‘ri proporsional bog‘lanish deyiladi. Bu funksiya uchun , , bo‘lib, grafigi to‘g‘ri chiziqdan iborat ekanligini ko‘rsatamiz. To‘g‘ri chiziq grafigini yasash uchun uning ikkita nuqtasini bilish yetarli.

1-misol.  ning grafigini yasaymiz.

Bu yerda    deb , ya’ni nuqtani  deb , ya’ni  nuqtani topamiz.

Bu nuqtalarni koordinatalar tekisligida belgilaymiz va ularni to‘g‘ri chiziq bo‘yicha tutashtirib,  funksiyaning grafigini topamiz (6-rasm).

	y     A
	2	

			 x
                                                     0          1

6-rasm

Shunga o‘xshash,  funksiya grafigi nuqtadan o‘tishini ko‘rish mumkin. Demak,  funksiyada  bo‘lsa, to‘g‘ri chiziq koordinatalar boshidan o‘tadi.

2-misol.  grafigini yasaymiz.

Bu yerda    desak  bo‘ladi, nuqtani topamiz.  tenglikda  desak  bo‘lib, to‘g‘ri chiziq (0;b) nuqtadan o‘tadi. Bundan xulosa chiqarib aytish mumkinki, tenglikdagi  to‘g‘ri chiziqni Oy o‘qida kesib ajratgan kesmasining miqdorini beradi.

Misolda  deb , ya’ni  nuqtani topamiz va to‘g‘ri chiziq grafigini (7-rasm) yasaymiz.

	y							y
  	ц M(x,y)

                                                                                B		
	B	1		b    с 
  	A		                          φ

          	0	x	A	0   N		x
7-rasm	                                      8-rasm
 
Quyidagi masalani ko‘rib chiqamiz. Koordinatalar boshidan o‘tmaydigan, koordinata o‘qlarini kesib o‘tadigan AB to‘g‘ri chiziqning tenglamasini tuzing.
Yechish: To‘g‘ri chiziqni Ox o‘qining musbat yo‘nalishi bilan hosil qilgan burchagini φ bilan va Oy o‘qida kesib ajratgan kesma (OB) miqdorini b bilan belgilaymiz. M(x,y) to‘g‘ri chiziqning o‘zgaruvchan nuqtasi bo‘lsin (8-rasm).
∆ BCM dan: BC=x, CM=y-b

. Bundan .  desak, ni hosil qilamiz. Hosil bo‘lgan tenglamani, shartga ko‘ra faqat to‘g‘ri chiziqda yotuvchi nuqtalarning koordinatalari qanoatlantiradi.

 to‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsiyentli tenglamasi deyiladi.  to‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsiyenti deyiladi: k>0 bo‘lsa, to‘g‘ri chiziq Ox o‘qining musbat yo‘nalishi bilan o‘tkir burchak hosil qiladi, k<0 bo‘lsa – o‘tmas burchak hosil qiladi, k=0 bo‘lsa, to‘g‘ri chiziq  ko‘rinishini olib, Ox o‘qiga parallel bo‘ladi. Agar  bo‘lsa, k mavjud emas. Bu holga Oy o‘qiga parallel bolgan to‘g‘ri chiziq mos ke-ladi, uning tenglamasi  bo‘ladi.  Oy o‘qining tenglamasi bo‘ladi.

Ko‘rib chiqilgan tahlildan ma’lum bo‘ladiki, . k va b ning barcha hollarida to‘g‘ri chiziqni bildirar ekan.

 Endi funksiyaning geometrik ma’nosini ko‘rib chiqamiz.
1. B≠0 bo‘lsin . Ikkala tomonini B ga bo‘lamiz va y ni topamiz:

	,	 desak,  hosil bo‘ladi.

 2. B=0 (A≠0) bo‘lsa,  bo‘lib, bundan  hosil bo‘ladi.

 3. A=0 (B≠0) bo‘lsa,  bo‘lib, bundan  hosil bo‘ladi.

4. C=0 bo‘lsa,  hosil bo‘ladi.
5. B=C=0 bo‘lsa, Ax=0 va x=0 bo‘ladi.
6. A=C=0 bo‘lsa, By=0 va y=0 bo‘ladi.
Ko‘rib chiqilgan barcha holatlarda to‘g‘ri chiziq tenglamasini (y=kx+b, x=a, x=b, y=kx) hosil qildik. Demak Ax+By+C=0 funksiya to‘g‘ri chiziq tenglamasi ekan.

7. Misol tariqasida y=|x| funksiyaning grafigini ko‘rib chiqamiz. Bu funksiyani  deb yozish mumkin. Har bir qismining grafini alohida-alohida chizib, ning grafigini (9-rasm) hosil qilamiz.

                                        y
    
	y=-x		y=x
	0                   x

                        9-rasm

2.3. Darajali funksiya

15-Ta’rif.  formula bilan berilgan funksiya darajali funksiya deyiladi.   б – daraja ko‘rsatkichi deyiladi. Darajali funksiyaning aniqlanish va o‘zgarish sohalari α ning qiymatlariga bog‘liq bo‘ladi. б ning ba’zi qiymatlarida darajali funksiyani tekshiramiz va grafigini yasaymiz.
1. Kvadrat funksiya

Umumiy ko‘rinishi  aniqlanish sohasi bo‘lib, o‘zgarish sohasi a>0 bo‘lganda  a<0 bo‘lganda  bo‘ladi. Ma’lumki,  funksiyaning grafigi uchi koordinata 							                                     y
boshi (0,0) nuqtada va a>0 bo‘lganda                                 8
tarmoqlari yuqoriga yo‘naltirilgan
paraboladan iborat.

10-rasmda  parabolaning
grafigi tasvirlangan				

 parabolaning grafigi 			 -2 		 2     x
funksiyaning grafigini Ox o‘qiga 				   0 		x 
nisbatan akslantirishdan 
hosil bo‘ladi (10-rasm).					              10- rasm.

Keltirilgan grafiklardan foydalanib, ning grafigini yasash mumkin bo‘ladi. Buning uchun ning grafigini oy o‘qi yo‘nalishida c birlikka yuqoriga, agar c>0 bo‘lsa, va c birlikga pastga, agar c<0 bo‘lsa, siljitish (parallel ko‘chirish) lozim bo‘ladi. Agar parabolani o‘ziga parallel qilib uchini (a,0) nuqtaga ko‘chirsak, xuddi shunga o‘xshash  funksiyaning grafigini  funksiyga grafigidan hosil qilgan bo‘lamiz. 11-rasmda  funksiyalarning grafiklari keltirilgan. 

Birinchi funksiyaning grafigi  grafigini -1 birlikka pastga siljitishdan hosil bo‘ldi. Ikkinchi funksiyaning grafigini  grafigini o‘ziga parallel qilib, parabola uchini (-1,0) nuqtaga ko‘chirishdan hosil bo‘ladi. 

 funksiyaning grafigini yasash uchun undan to‘la kvadrat ajratamiz, ya’ni ni hosil qilamiz.

Agar koordinata boshini O nuqtaga ko‘chirsak, yangi  sistemada funksiya  ko‘rinishi oladi. 12-rasmda  va  funksiyalarning grafiklari keltirilgan.	

Umuman  funksiyaning grafigini  funksiya grafigini parallel ko‘chirish yo‘li bilan hosil qilish mumkin.  funksiyaning grafigi parabola uchidan oy o‘qiga parallel bo‘lib o‘tadigan to‘g‘ri chiziqga nisbatan simmetrik joylashgan.

          y                                                                  у

                                                                                                        2         х   

         -1            0                           х                        -1      -1                                  
                          -1

                                                                                                            

                                                                                                                                       
             11 - rasm                                                                  12 - rasm

2.  funksiyani qarab chiqamiz. Aniqlanish sohasi , o‘zgarish sohasi ,  nuqtaning koordinatalari  tengla-mani qanoatlantiradi. Demak, egri chiziq bu nuqtadan o‘tadi. x ning qiy-matlari o‘sib borsa, y ham o‘sib boradi. Keltirilgan xossalardan, funk-siyaning grafigi birinchi koordinata choragida joylashishi kelib chiqadi (13 (a) -rasm).
		                              y 

                     y			

	                                    0                       x    
                    0                     x                                    		
                  a)                                                                b)
13-rasm

3. funksiyani tekshiramiz. ; . Toq funk-siya bo‘lib, grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrik joylashgan. Aniqlanish sohasida o‘suvchi. Grafik koordinata boshi  nuqtadan o‘tadi,  bo‘lgandabo‘ladi. Grafigi (25 (b)-rasm)  da keltirilgan.

4.  funksiyani tekshiramiz. , . Toq funksiya (grafigi nuqtaga nisbatan simmetrik), aniqlanish sohasida o‘suvchi  bo‘lsa,  bo‘ladi. bo‘lganda  bo‘ladi. Grafigi 14-rasmda keltirilgan.
	y						       y

                   

         0			      x				       0		 	 x

              14-rasm                                                               15-rasm

5.  funksiya. funksiya toq bo‘lib, grafigi nuqtaga nisbatan simmetrik .  bo‘lganda  bo‘ladi. Koordinata o‘qlari funksiya grafigining asimptotalari bo‘ladi. Grafigi giperbola deyiladi: k>0 k<0 bo‘lganda I va III, II va IV chorak-larda joylashadi. 15- rasmda  ning grafigi keltirilgan.	

                         y               	        6.  funksiyani tekshiramiz. 

	. Juft funksiya, 
	ya’ni grafigi Oy o‘qiga nisbatan 
	simmetrik joylashgan.

                                            	 bo‘lsa , bo‘lsa 
	0	x       grafigi 28-rasmda keltirilgan.
         
              16-rasm
2.4. O‘zaro teskari funksiyalar

Agar (a;b) oraliqqa tegishli  uchun  tengsizlik o‘rinli bo‘lsa,

16-ta’rif.  funksiya bu oraliqda monoton o‘suvchi (yoki o‘suvchi) deyiladi. Shunga o‘xshash monoton kamayuvchi funksiya ta’riflanadi: agar argumentning ixtiyoriy ikkita qiymatidan kichik qiymatiga funksiya oraliqda kamayuvchi deyiladi, Funksiyaning katta qiymati mos kelsa, ya’ni agar  bo‘lib  bo‘lsa.

Masalan,  funksiya  oraliqda o‘suvchi,  funksiya esa aniqlanish sohasida kamayuvchi.
Monoton o‘suvchi funksiyaning grafigi chapdan o‘ngga qarab ko‘tarilib boradi, monoton kamayuvchi funksiyaniki esa chapdan o‘ngga qarab pasayib boradi.

Agar funksiya  oraliqda faqat o‘suvchi yoki faqat kamayuvchi bo‘lsa, monoton funksiya deyiladi.

Faraz qilaylik,  oraliqda  funksiya monoton bo‘lsin. Bu holda argument x ning har bir qiymatiga y funksiya ning yagona qiymati mos keladi. Demak  tenglamadan x ni y orqali ifodalash mumkin bo‘ladi: . Bu tenglikda y bog‘liq emas o‘zgaruvchi (argument) sifatida, x esa funksiya sifatida keladi.  va  funksiyalarning grafiklari bitta chiziqni beradi (birining aniqlanish sohasi ikkinchisining o‘zgarish sohasi va aksincha bo‘ladi). Agar  tenglikda x va y joy-larini almashtirsak (rollarini o‘zgartirsak) yangi funksiya 

							(2)
hosil bo‘ladi. Bu funksiya avvalgi funksiya

							(1)

ga nisbatan teskari funksiya deyiladi va aksincha  ham ga nisbatan teskari funksiya deyiladi, ya’ni ular bir-biriga nisbatan teskari funksiya deyiladi.
Avval ta’kidlanganidek, birining aniqlanish sohasi ikkkinchi uchun o‘zgarish sohasi bo‘ladi va aksincha.

1-misol.  funksiya uchun teskari funksiya topilsin.

Yechish: Berilgan tenglikdan x ni topamiz . Hosil bo‘lgan tenglikda x va y ning joylari almashtirilib teskari funksiya ni topamiz. Bularni grafigini bitta chizmada yasaymiz.	 			y        17-rasm

Ular  to‘g‘ri chiziqqa nisbatan 				      
simmetrik bo‘ladi (17 - rasm).	     2	
Umuman, o‘zaro teskari bo‘lgan			

(1) va (2) funksiyalarning grafiklari			                                                to‘g‘ri chiziqga nisbatan  simmetrik joylashadi.  		  2		    x
Agar funksiya o‘zining aniqlanish sohasida monoton bo‘lmasa, funksiya uchun teskari funksiya mavjud bo‘lmaydi. Bu holda aniqlanish sohasini shunday qismlarga bo‘lish kerakki, har bir qismda funksiya yo o‘suvchi, yo kamayuvchi bo‘lsin va har bir qism uchun funksiyaga teskari funksiyani topamiz.

2-misol.  funksiya aniqlanish sohasi  da monoton emas. Bu sohani shunday  va  qismlarga bo‘lamizki, birinchi oraliqda berilgan funksiyaga teskari funksiya  (funksiya bu oraliqda kamayuvchi), ikkinchi oraliqda esa teskari funksiya  (bu oraliqda funksiya o‘suvchi) mavjud bo‘ladi.
2.5. Funksiya grafigini almashtirish

Faraz qilaylik,  funksional bog‘lanish berilgan bo‘lsin. Bu tenglama albatta Oxy koordinatalar sistemasida tekshiriladi va grafigi yasaladi. Ko‘p hollarda bu tenglamadan foydalanib, grafikni yasash qiyinchiliklar bilan bog‘liq bo‘ladi. Shunday hollarda yangi koordinatalar sistemasi  tanlanadiki, bu sistemada tenglama sodda ko‘rinishni qabul qilsin va grafigini chizish oson bo‘lsin.

1. Parallel ko‘chirish.  Bunda koordinatalar boshi oldingi sistemaga nisbatan  nuqtaga ko‘chiriladi va koordinata o‘qlarining yo‘nalishi o‘zgarmaydi. Yangi  sistemada funksiya  ko‘rinishni olsa, eski Oxy sistemada funksiya  bo‘lgan bo‘ladi. 						

3-misol.  funksiya grafigi yasalsin.	         y    y1 
									  5

Yechish: Funksiyani  ko‘rinishda			 

yozamiz va koordinatalar boshini                             3	        01          x1

nuqtaga ko‘chiramiz, natijada yangi 	 			

sistemada funksiya  ko‘rinishini oladi.	 		0   1            x
Uning grafigi 18-rasmda ko‘rsatilgan.	 				       
18-rasm

4-misol.  funksiya grafigidan foydalanib,  funksiyaning grafigi yasalsin.

Yechish: Funks\iyani  ko‘rinishda yozamiz va koordinata boshini nuqtaga ko‘chiramiz, yangi  sistemada funksiya  ko‘rinishda bo‘lib, uning grafigi 19-rasmda ko‘rsatilgan.
                y2       y1                                                 y                       y2

		   y2

                                                                                                  
        2        01
 		 x1 
                                                                                                  x 
      0               2       x                                    0            1       2

19-rasm.							 20 -rasm.

2. Cho‘zish. funksiya grafigidan foydalanib  funksiya grafigini yasash talab qilinsa, grafikning har bir nuqtasini abssissalar o‘qidan k marta, ordinatalar o‘qidan l marta cho‘zish kerak.

4-misol.  funksiya 	
grafigidan foydalanib,						  21-rasm.

, , ,                            y
funksiyalar grafiklari yasalsin.

Yechish: 20-rasmda keltirilgan 

funksiya grafigi har bir nuqtasining 			          0                  x
ordinatasini 2 ga ko‘paytirsak, y1 egri                            -1

chiziqni, grafikni Oy o‘qidan 

 marta cho‘zish (ya’ni ikki marta siqish) bajarilsa y2 grafigi hosil bo‘ladi.		  

Agar  funksiya grafigini abssissalar o‘qiga nisbatan simmetrik almashtirsak,  funksiyaning grafigini, ordinata o‘qiga nisbatan simmetrik almashtirsak,  funksiya grafigini, koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik almashtirsak,  funksiyaning grafigini hosil qilamiz.

5-misol.  funksiyaning grafigidan foydalanib,  funksiyaning grafigi yasalsin.

Yechish:  funksiya grafigini yasab, uni Oy o‘qiga nisbatan simmetrik almashtirsak (akslantirsak),  funksiya grafigi hosil bo‘ladi, (21-rasm).

§ 3. Funksiyaning limiti, hosilasi, integrali haqida qisqacha ma’lumot Limit – matematikaning eng muhim tushunchalaridan biri. Agar o’zgaruvchi miqdor o’zining o’zgarish jarayonida a songa cheksiz yaqinlashsa, a soni x o’zgaruvchi miqdorning limiti deyiladi va lim x = a  (“ x ning limiti a ga teng” deb o’qiladi) kabi yoziladi. lim – “chegara, chek” ma’nosini anglatuvchi lotin so’zi “limis” ning birinchi uch harfi. Limitni belgilash uchun limis so’zini birinchi bo’lib I.Nyuton ishlatgan, lim simvolini fransuz olimi S.Lyuile 1786 yilda kirishgan  ifodani birinchi bo’lib Angliyalik U.Gamilton 1855 yilda yozgan.  - “x(t) funksiyaning t argument t0 ga intilgandagi limiti” deb o’qiladi.
                            
  Grafiklari 1 va 2 – rasmlarda tasvirlangan ikkita funksiyani ko’raylik. Birinchi funksiyani grafigini qalamni qog’ozdan uzmasdan (ko’tarmasdan) chizish mumkin. Bu funksiyani uzluksiz deyish mumkin. Ikkinchi funksiya grafigini bunday qilib chizish mumkin emas. U ikkita uzluksiz bo’lakdan iborat,  x0 nuqtada esa uzilishga ega. Uzluksizlikning bunday ko’rgazmali ta’rifi matematikani zinhor qoniqtirmaydi, chunki u “qalam” va “qog’oz” kabi butunlay nomatematik tushunchalarni o’z ichiga oladi. 
у = f (x) funksiya [ a;b] kesmada aniqlangan va x0 – shu kesmaning biror nuqtasi bo’lsin. Agar x argument x0 ga intilganda (faqat [ a;b] kesmadagi x lar qaraladi) funksiyaning qiymatlari f (x0)ga intilsa, ya’ni agar 

bo’lsa, f (x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Agar funksiya kesmaning har bir nuqtasida uzluksiz bo’lsa, u kesmada uzluksiz deyiladi. Agar x0 nuqtada (1) tenglik bajarilmasa, funksiya x0 nuqtada uzulishga ega deyiladi.  
 Funksiyaning grafigi – uni tasvirlash usullaridan biri. U yoki bu  funksiyani turlicha, masalan, gap bilan tavsiflash mumkin. Fizikadan ma’lumki, tekis harakatda o’tilgan yo’l harakatning boshlanishidan ketgan vaqtga to’g’ri proportsional. Bu gap yo’lni vaqtning chiziqli funksiyasi sifatida ifodalaydi.  
Funksiya tasvirining grafik usuli eng yaqqol usuldir. Funksiya grafigi – uning argumenti o’zgara borishida funksiyaning o’zgarish xarakteri haqida yaxlit tasavvur beruvchi chiziq. 
Ko’p funksiyalarning grafiklari shu funksiyalarga monand nomga ega. Sinus funksiyasining grafigi sinusoida, tangens funksiyasining grafigi tangensoida, logarifmik funksiyaning grafigi logarifmika deyiladi va hokazo.
Funksiya grafigini chizish uchun qo’yidagicha yo’l tutiladi: 
1) funksiyaning aniqlanish sohasi va qiymatlar sohasi topiladi;
2) funksiyaning uzluksizlik oraliqlari topiladi va uzulish nuqtalari aniqlanadi;
3) uzulish cheksiz bo’lgan nuqtalarda yordamchi to’g’ri chiziqlar – asimtotalar o’tkaziladi; 
4) birinchi tartibli hosilasi topilib ekstremumga tekshiriladi (zarur bo’lsa).
 Hosila tabiatshunoslik va matematikaning bir xil toifadagi limitlarni hisoblashga olib kelgan juda ko’p masalalarini qarash natijasida paydo bo’ldi. Ulardan muhimlari–notekis harakat tezligini aniqlashga doir fizik masala va egri chiziqqa urinma o’tkazishga oid geometrik masaladir.

Galiley jismning erkin tushish qonuni  topgan. t – tosh tusha boshlanishidan e’tiboran sekunda hisoblanadigan vaqt, S(t) – t vaqt ichida o’tilgan yo’l, g – taqriban .
Erkin tushayotgan jism tezligining o’zgarish qonuni ϑ(t) = gt . a(t) =ϑ′(t) = g ,
ya’ni erkin tushayotgan jismning tezlanishi o’zgarmas bo’lib, u еp sirti yaqinida erkin tushish tezlanishini ifodalovchi g fizik doimiyning xuddi o’zidir. 
Ixtiyoriy у = f (x) funksiya uchun 

muhim kattalik f funksiyaning hosilasi deyiladi.
Urinma tushunchasi – matematik analizdagi eng muhim tushunchalardan biri. Tabiiyki, urinmaga ega bo’lmagan grafikli funksiyalar aniqlanish sohalarining biror nuqtasida ham hosilaga ega emas, chunki x0 nuqtada hosilasi bor bo’lgan funksiyaning grafigiga shu nuqtada urinma mavjud va uning tenglamasi
y = (x0) + ′(0)(x − 0)
bo’ladi. Funksiya hosilasini topish amali differensiallash deyiladi. 
 Differensiallashga teskari matematik amal integrallash yoki aniqrog’i, aniqmas integrallash deyiladi. Differensiallash amali berilgan F(x) funksiyaga uning hosilasi F′(x) = f (x) ni mos qo’yadi. Faraz qilaylik, biz berilgan f (x) funksiyadan kelib chiqib, shunday F(x) funksiyani topmoqchimizki, uning hosilasi f (x), ya’ni    f (x) = F′(x) bo’lsin. Bunday funksiya f (x) funksiyaning boshlang’ich funksiyasi deyiladi. Differensiallash amali funksiyaga boshqa bir yagona funksiya – funksiyaning hosilasini mos qo’ysa, aniqmas integrallash bitta konkret funksiyaga olib kelmay, funksiyalarning butun bir to’plamini beradi, uning aniqmasligi ham shunda, ya’ni 
∫ f (x)dx = F(x)+ C .
Aniq integral

-  Nyuton – Leybnis formulasi.
  Fizika qonunlarni o’rganiyotgan jarayonni xarakterlovchi miqdorlar va  ularning o’zgarish tezliklari orasidagi munosabatlarni tasvirlaydi. Boshqacha aytganda, bu qonunlar noma’lum funksiyalar va ularning hosilalari qatnashgan  tengliklar bilan ifodalanadi. Ana shunday tengliklar differensial tenglamalar deyiladi. Ular qator fizika qonunlarining matematik ifodasi sifatida paydo bo’ldi. 

Harorati y0 gradusga ko’tarilgan jism (masalan, metall plastinka) t = 0 vaqt momentida nol gradusli havo bilan to’ldirilgan juda katta idishga solinadi. Ma’lumki, jism soviy boshlaydi va uning harorati t vaqtning funksiyasi bo’ladi. Bu funksiyani y(t) bilan belgilaymiz.  hosila jism va uni o’rab turgan muhit temperaturalar ayirmasiga – bu holda y(t) ga proportsionaldir. Shunga asosan vaqt birligida  munosabat o’rinli bo’lishini ko’ramiz ( k – materialga bog’lik  koeffisient).  Bu tenglamani yechimi y = C e-kt bo’ladi.

   tenglama funksiyaning o’zgarish tezligi funksiyaning o’ziga proportsional degan faktni ifodalaydi. Bu kabi bog’lanish tabiatning boshqa hodisalarida ham kuzatiladi, masalan, atmosfera bosimining dengiz sathidan balandlikka bog’liq ravishda pasayishi bosim kattaligiga proportsional. Yana bir misol – radiaktiv parchalanish: radiaktiv modda massasining kamayish tezligi shu moddaning miqdoriga proportsional. Demak, atmosfera bosimi y dengiz sathidan balandlik t ning funksiyasi sifatida va radiaktiv moddaning massasi vaqt t ning funksiyasi sifatida  tenglamani qanoatlantiradi. Aynan bitta differensial tenglama mutlaqo har xil (matematik) fizik hodisalarning modeli bo’lib xizmat qila olishini ko’ramiz.

Xulosa

     “ Kadrlar tayyorlash milliy dasturi”da shaxsni rivojlantirishga berilgan juda katta e’tiborning boisi shundaki, faqat shaxsning kamoloti uning intellektual zakovatigina jamiyat taraqqiyotining omili bo’la oladi. Shaxsdagi intellektual zakovat esa yaxshi tashkil etilgan ta’lim-tarbiya jarayonidagina uyg’onishi, taraqqiy etishi va shaxs kamolotini ta’minlashi mumkin. O’qituvchi o’quvchilarning intellektual imkoniyatlarini maksimal ishga solish yo’lini izlab topishi lozim.     
   “Funksiya tusunchasiga turlicha yondoshish” mavzusidagi bitiruv malakaviy ishini  yozishim   jarayonida   men   bir  qancha  qo’shimcha  adabiyotlar  bilan  tanishib   chiqishimga   to’g’ri   keldi.   Bu  mening  ta’lim  jarayonida o’quvchilar  bilan  olib  boradigan  ishlarimda juda  katta  yordam  beradi  deb  o’ylayman.
Funksiya tushunchasi matematikada muhim tushunchalardan bo’lib, bu matematik tahlil fanini o’rganishda muhim rol o’ynaydi va funksiya tushunchasini bevosita amaliyotga tadbiq qilish o’quvchilar uchun qo’l keladi.    “Funksiya” termini bir qator sinonimlarga ega: moslik, akslantirish, akslanish, almashtirish, operator, funksional va hokazolar. Funksiya termini birinchi marta 1692 yilda G.V.Leybnis ishlarida paydo bo’ldi. Bu terminni Svetsariyalik olim I.Bernulli 1698 yilda, G.Leybnisga yozgan xatida, XIX asr boshlarida N.I.Lobachevskiy funksiyaning hozirgi kundagisi bilan deyarli mos keluvchi tavsifini berdi. 
 Asosiy elementar funksiyalar: ko’phad, ikki ko’phadning nisbatidan iborat ratsional funksiya, darajali funksiya, ko’rsatgichli funksiya, logarifmik funksiya, trigonometrik funksiyalar va teskari trigonometrik funksiyalar. Elementar funksiyaning hosilasi yana elementar funksiya bo’ladi. Elementar bo’lmagan funksiyalar tekshirilganda, odatda ular limitlar, integrallar, cheksiz qatorlar orqali tasvirlab olinadi va matematik analiz metodlari bilan o’rganiladi. 
Funksiya tushunchasini chuqur o’zlashtirish va uni toliq tekshirishni o’rganish  undan keyin o’rganiladigan limit, hosila, differensial, integral, differensial tenglamalar va boshqa tushunchalarga ijobiy ta’sir qiladi. 
Bu bitiruv malakaviy ishining ahamiyati shundan iboratki, yig’ilgan ma’lumotlardan akademik litsey va kasb-hunar kollejlari o‘qituvchi, o’quvchilari va matematikani chuqur o’rganishni xoxlovchi talabalar uchun ma’lumot  bazasi bo’lib qolishi mumkin degan umiddamiz.

Foydalanilgan adabiyotlar
1.	I.A.Karimov. “Yuksak ma’naviyat yengilmas kuch”   T. “Ma’naviyat” 2008 y., 176 bet.
I.A.Karimov. “Jahon moliyaviy iqtisodiy inqirozi, O‘zbekiston sharoitida uni bartaraf etishning yo‘llari va choralari” T. “O‘zbekiston” 2009 y. 56 bet.
“Barkamol avlod yili” Davlat dasturi to’g`risidagi O’zbekiston Respublikasi Prezidentining qarori. № 12 sonli “Ishonch” gazetasi, 2010 yil, 28 – yanvar  5 b.
2.	  Karimov I.A. «Kadrlar tayyorlashning milliy dasturi», T. «O’zbekiston»,   1997 yil.
3.	Algebra. Umumiy ta`lim maktablarining 7-sinfi uchun darslik. Sh.A.Alimov, O.R.Xolmuhamedov, M.A.Mirzaahmedov. –T.: “O’qituvchi“, 2009.-176 b.
4.	Algebra va analiz asoslari. Akademik litsey va kasb-hunar kollejlari uchun darslik. R.Vafoyev, J.Husanov, K.Fayziyev va boshq. –T.: “O’qituvchi“, 2003.-368 b.
Algebra va matematik analiz asoslari. I qism: Akademik litsey va kasb-hunar kollejlari uchun darslik. A.U.Abduahmedov, H.A.Nasimov, I.M.Nosirov, J.H.Husanov. –T.: “O’qituvchi“, 2003.-416 b.
5.	Alimov SH.O. va boshqalar. Algеbra (umum ta’lim maktablarining 8 – sinflari uchun darslik). T.”O’qituvchi”, 2010 y.
Alimov SH.O. va boshqalar. Algеbra (umum ta’lim maktablarining 9 – sinflari uchun darslik). T.”O’qituvchi”, 2010 y.
6.	   Alixonov S.   “Matematika o’qitish metodikasi”, Cho’lpon nomidagi nashriyot-mabaa ijodiy uyi, Toshkent-2011y 
   Xushvaqtov M. Matematik analiz. Toshkent., “Yangi yo’l poligraf servis” 2008 y. -336 b.
7.	 www.ziyonet.uz – O’zbekiston Respublikasi Axborot-ta’lim tarmog’i.
1.	
8.	 WWW.EDU.UZ
9.	 www.google.uz